Hogyan tudok olyan telepítést csinálni, ahol a HDD-t is formázza és rendesen hozzáadja a rendszerhez? Jelenleg olyan mint egy pendrive, kiadási opció is van. 

A telepítésnél ki kell jelölni formázásra, és meg kell adni a formázás beállításait (például EXT4, ami a Linux kezelni tud). Fontos, hogy azt is be kell jelölni, ne vegye figyelembe, csak formázza: a pontos beállítás nem jut eszembe, de ha képen mutatod a beállításokat (Imgióus vagy imgBB képmegosztók egyike), mondom.
A telepítés után a GParted (vagy a Lemezek) alkalmazással tudod formázni, particionálni, és például így kezelhető (a Lemezek alkalmazás is képes ugyanerre, majd megkeresem, hol írtuk le, hogyan: beteszi az fstab fájlba is, és ez akkor jó, ha fixen beépítve használnád - ha ezt is szeretnéd):
Kötet, meghajtó és egyéb tároló eszközök használatba vétele: olvasás, írás, futtatás
fstab: File System Table / Fájlrendszer táblázat (USB-kulcs vagy más hordozható tár például nem szokott benne szerepelni, mert akkor a rendszer keresné az indításkor. És, ha nem találja, akkor nem indul el a rendszer.). Tartalmának olvasása:

cat /etc/fstab

Kiadási lehetőség mindig lesz, ez ilyen. Én csak akkor fűzöm be az adat tárolásra használt partíciót, ha feltétlen szükségem van rá. Nincs állandóan befűzve, de látszik a fájlkezelőben. Jelenleg jelszóval fűzhető be.

Illetve egy bónusz kérdés, hogyan tudok háttértárat, pl. egy pendrivot formázni?

Fentebb írom. :-)